Résumé : petites réflexions personnelles sur les propositions qui portent sur leur propre valeur de vérité.

Si nous considérons une proposition P en logique floue, comme "Je suis assez grand", elle peut avoir une certaine valeur logique dans [0..1] (mais d'autres choix sont possibles), ce que nous écrirons et que nous lirons "P a pour valeur logique "

Je préfère le terme valeur logique plutôt que valeur de vérité mais pour le moment on considérera les deux comme équivalentes.

Mais on peut alors considérer l'expression "" comme une sorte de nouvelle proposition. Quelle est alors sa valeur logique ? En d'autres terme, quelle est la valeur de tel que ?

Si nous savons que la valeur logique de P est , alors bien sûr nous aurons où est la valeur logique de la vérité.
Donc
Et même
etc. On peut ajouter à droite autant de "" qu'on veut à droite.

Donc, dès lors qu'une expression logique se termine par "" on peut lui rajouter à droite autant de "" que l'on veut.

Néanmoins, si (équivalence logique entre propositions) alors quelle que soit la valeur logique , on aura , et réciproquement :

Plus subtilement, on a aussi :

En effet si nous savons que la valeur logique de P est , alors la proposition , qui affirme que P est vraie, n'a en réalité que la valeur logique

Quid de ?

Cela signifie que, malgré la double affirmation à droite, comme quoi P serait vraie, cette double affirmation n'a que la valeur , donc on a aussi et donc , et inversement. L'équivalence est donc justifiée. On peut mettre autant de que l'on veut au milieu du membre de droite.

De même, si "0" signifie "faux" et "1" signifie "vrai", alors :

Si est une proposition valuée, alors nos avons posé par principe que , que nous simplifierons en en posant que l'opérateur a priorité sur . En d'autres termes,

Et quel est le sens de ? Il est tentant de dire que cette expression est équivalente à , mais le sens littéral de est "la valeur logique de P n'est pas x", c'est à dire
On a alors :

Mais ! Les deux interprétations se rejoignent :

Prenons l'expression , et posons , donc
donc

Donc nous avons la conclusion surprenante :

Supposons alors que nous remplacions le dans (2.1) ou le dans (3.1) par . Connaissant et , quelle serait alors la valeur de , fonction de et de , telle que l'on aurait
?

Si nous savons que est vraie, c'est à dire que a la valeur logique , et qu'une autre déduction ou une autre personne (notez le lien avec la logique modale) nous dit que , alors on peut conclure que si , alors , mais si alors peut-être que , comme en logique booléenne. Mais en logique floue on doit pouvoir faire mieux que la logique booléenne !

Il faut peut-être considérer la différence : si , alors , mais si , c'est à dire que les deux affirmations et sont strictement contraires, alors . En général, on aurait
Mais d'autres solutions sont possibles, comme :

Etc.
En outre, nous voulons que notre équivalence fonctionne dans les deux sens :
Si nous avons , peut-on simplifier cette expression sous la forme ?
La solution la plus simple serait de dire c'est à dire que dans (5.1). La juxtaposition des deux affirmations de valeur logique et pour la même proposition se comporterait comme la conjonction floue.
En fait, peut s'interpréter comme
#TBC
De même, si nous savons que est vraie, c'est à dire que nous connaissons la valeur de , mais que nous considérons l'expression , où est une valeur arbitraire, quelle est sa valeur logique ? C'est à dire quelle est la valeur de , fonction de et , telle que cette expression soit vraie, c'est à dire ?
#TBC

Mais si nous considérons alors la proposition plus générale , où et sont des valeurs logiques arbitraires, quelle est sa valeur de vérité ?

En d'autres termes, si nous connaissons et , alors quelle est la valeur de telle que soit vraie ?

Je propose d'utiliser le théorème de Bayes :

Si nous considérons une expression valuée , nous pouvons penser qu'il s'agit d'un évènement, et en termes de probabilités, a priori
Lorsque nous ajoutons une seconde affirmation comme , nous pouvons penser qu'il s'agit d'une réévaluation. Ainsi a priori.
est la nouvelle valeur de dans l'expression
Quant à , c'est tout simplement puisque la réévaluation est un fait.
Donc ???
#TBC

Supposons que (A) est vraie. Alors la phrase (A) possède une prémisse vraie et est vraie (car j’ai supposé (A)) et donc sa conclusion est vraie (par la règle du modus ponens). Donc, sous l’hypothèse (A), vous êtes la personne la plus riche du monde.

Mais c'est précisément ce que dit la phrase (A). Donc elle est vraie, et ce n'est plus une supposition mais une déduction. Donc, vous êtes la personne la plus riche du monde.

Supposons que la troisième phrase est fausse. Cela signifie que la première et la seconde phrase sont toutes les deux fausses. Mais si la seconde phrase est fausse alors la troisième est vraie, et donc, la troisième phrase est à la fois fausse (c’est notre hypothèse) et vraie (nous venons de le déduire), ce qui ne se peut pas. Donc, l’hypothèse faite en début du paragraphe conduit à une contradiction. Cette hypothèse est donc fausse.

Donc, la troisième phrase est vraie, et donc la seconde phrase est fausse, et donc (d’après ce que dit la troisième phrase en utilisant que la seconde phrase est fausse) la première phrase est vraie. Et donc, vous êtes la personne la plus riche du monde !

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